Świat jak dodekahedron. Platon - Euklides - Leonardo da Vinci - Salvador Dali
Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka
autorzy artykułu
Katarzyna Kopańska
grafiki i analiza obrazów
Artykuł opublikowany w 38 numerze kwartalnika Konspekt
Watykan, Pałac Watykański, Stanza della Segnatura, Rafael Santi, Causarum cognitato, 1510.
O poznawaniu przyczyn. [0] Na początku trudno przebić się przez wielość postaci. Ustawione są w dwa wyraźne rzędy. Te na dole rozsunięto na boki, aby utorować przejście po schodach. Grupa z lewej skupiona jest wokół osoby zajętej pisaniem. Dwaj mężczyźni zaglądają przez jej ramiona do księgi, ale dla nas zapis jest nieczytelny. Z drugiej strony wychyla się młodzieniec i pokazuje tablicę.
Odczytujemy: epogdoon (zawierający 9/8), diatessaron (kwarta), diapenta (kwinta), diapazon (oktawa) oraz I + II + III + IIII = X (teraktys zapisany rzymskimi cyframi).
To Pitagoras z Samos z nauką o harmonii i liczbie jako zasadzie świata, z wiarą, że wszystkie stosunki można opisać liczbami - liczbami naturalnymi, bo innych Grecy nie znali. [1]
Owe konsonancje to właśnie: kwarta, kwinta i oktawa.
Na obrazie greckie nazwy interwałów wpisane są w dziwne naczynia tak, że ich migotliwość imituje wodę i przywołuje wersy Teona ze Smyrny: ,,Mówią, że Lasos z Hermione oraz pitagorejczyk Hippasos z Metapontu wykorzystywali szybkie i wolne ruchy, z których powstawały akordy. […] Przenieśli stosunki liczbowe na wazy. Mając dwa naczynia, jedno z nich pozostawili puste, drugie zaś napełnili płynem w połowie. Uderzając w dwie wazy uzyskali oktawę. Kiedy natomiast jedno z naczyń pozostawili puste, drugie zaś napełnili tylko do jednej czwartej i raz jeszcze w nie uderzyli, wtedy uzyskali kwartę; i kwintę, kiedy napełnili naczynie w jednej trzeciej, ponieważ stosunek części pustych do oktawy wynosi dwa do jednego, w przypadku kwinty trzy do dwóch, a kwarty cztery do trzech" (FVS 18A13).
Wspomnianemu Hippasosowi z przypisywane jest wybitne odkrycie matematyczne.
Otóż miał on pokazać, że bok a oraz przekątna d pięciokąta foremnego są niewspółmierne, co znaczy, że nie istnieje taki odcinek X, dla którego by zachodziło a=nX,\ d=mX, dla pewnych liczb naturalnych n, m (rys. 1). Jego dowód oparty był na algorytmie anthyphairesis, a polegał - w uproszczeniu - na tym, że gdy wykreślimy przekątne pięciokąta, otrzymamy mniejszy pięciokąt, a procedurę tę można powtarzać w nieskończoność (rys. 2).
]
W dzisiejszej matematyce rozumowanie to przedstawiamy za pomocą ułamków łańcuchowych, ale w 150 lat po Hippasosie Euklides udowodnił, że przekątne pięciokąta foremnego "dzielą się w stosunku skrajne do średniej, a większe części są równe bokom pięciokąta", innymi słowy EG : FG = FG :EF (rys. 3).
Punkt przecięcia przekątnych, F, wyznacza tzw. ,,złoty podział" odcinka EG,
dlatego badając proporcje będziemy posługiwać się pięciokątem i gwiazdą pięcioramienną.
Leonardo da Vinici: (1) Portret Izabelli d'Este, 1500, (4) De divina proportione.
 |
(1) Causarum cognitato, fragment. (3) Leonardo da Vinci, rysunki do twierdzenia XII.3. Rękopis E, karta 56, 1513-1514.
Na zbliżeniu (rys. 1.) rozpoznajemy trójkąty z twierdzenia XII.3 Elementów o rozkładzie czworościanu foremnego.
W środku obrazu znajdujemy dwóch mężczyzn. Młodszy jakby przystanął, lewą ręką podtrzymuje księgę wspartą na udzie. Z łatwością odczytujemy włoski tytuł: Etica. To Arystoteles. Pamiętamy jego doktrynę czterech przyczyn, jednakowoż Rafael przedstawia Filozofa z Etyką, a nie z Metafizyką. Zatem nie forma i nie materia, i nie przyczyna celowa, i nie przyczyna sprawcza, a raczej etyczna zasada złotego środka - z tą mądrością występuje Arystoteles w przedstawieniu.
Starszy zwolnił kroku, ale nie zatrzymuje się. Ma około 60. lat. Rozpoznajemy twarz Leonarda da Vinci.
Lewą ręką podtrzymuje księgę opatrzoną włoskim tytułem Timeo. Zatem to Platon ze swoją kosmologią. Traktat Platona jest w samym centrum obrazu.
Timajos opowiada o powstaniu i naturze świata: ,,Próbujemy wytłumaczyć, dlaczego Stwórca sprawił, że i ten świat się narodził. Odpowiadamy: był dobry! A kto jest dobry nie odczuwa nigdy żadnej zazdrości wobec nikogo. Wolny zatem od niej bardzo pragnął, aby wszystko było, ile możności, podobne do niego. Jeśli ktoś przyjmuje od mądrych ludzi to zdanie za główną przyczynę powstania świata, postępuje bardzo rozumnie".
Grecki Stwórca to Demiurg; nie kreuje on świata z nicości, ale kierowany rozumem wprowadza ład do tego, co zastał. Zaczął więc Demiurg składać ,,ciało świata", najpierw z ognia i ziemi, wedle reguły: ,,Otóż najpiękniejszym wiązadłem jest to, które tworzy jedno jedyne jestestwo z rzeczami, które ono łączy. Skutek ten osiąga najpiękniej proporcja. W rzeczy samej, gdy z jakichkolwiek trzech, przedstawiających linie lub płaszczyzny, linia średnia tak się ma do ostatniej, jak pierwsza do średniej, i odwrotnie, jeśli średnia tak się ma do pierwszej jak ostatnia do średniej, wtedy średnia staje się pierwszą i ostatnią, a ostatnia i pierwsza staje się z kolei średnią. W ten sposób wszystkie terminy mają tę sama funkcję, wszystkie grają tę samą rolę względem siebie i w tym wypadku wszystkie tworzą tę samą jedność".
O czym tu Platon pisze? Podzielmy odcinek na dwie części, a, b i niech b będzie większą. Gdy odcinki (a+b), b, a są ustawione według wielkości, wtedy (a+b), tj. cały odcinek, jest pierwszą ,,wielkością", b - średnią, a - ostatnią. I wówczas ,,średnia tak się ma do ostatniej, jak pierwsza do średniej" to proporcja
b : a = (a+b) : b. Odwracając} ją dostajemy b : (a+b) = a : b, czyli ,,średnia tak się ma do pierwszej jak ostatnia do średniej". Dzisiaj taki podział nazywamy ,,złotym", w Elementach Euklidesa jest on opisywany słowami ,,całość do większej ma się tak, jak większa do mniejszej", albo jest nazywany stosunkiem ,,skrajne do średniej", tj. (a+b):b=b:a. Euklides pokazał, jak za pomocą cyrkla i linii podzielić odcinek w stosunku ,,skrajne do średniej", pokazał też, że nie ma liczb, które by były w takim stosunku.
Wróćmy do świata. Zrobiony tylko z ognia i ziemi byłby on płaski. ,,W rzeczywistości jednak wypadało, aby ciało świata było bryłą. Otóż jeden termin pośredni nie wystarcza, by połączyć nim ciała stałe: potrzeba w tym celu dwóch. Dla tej przyczyny Bóg umieścił powietrze i wodę w środku między ogniem i ziemią i rozłożył te elementy w tym samym stosunku jedne do drugich, o ile to były możliwe". Tak to w kosmologii Platona ogień, powietrze, woda i ziemia tworzą elementy, żywioły, zasady świata, po grecku \sigma\tau o\iota\chi\varepsilon\iota\alpha.
I przystąpił Demiurg do kształtowania elementów i ,,otrzymały od Niego swoje formy pod wpływem Idei i Liczb". Jakie formy?
,,Teraz powinniśmy wyjaśnić, jakie własności winny posiadać cztery najpiękniejsze ciała, by, z jednej strony różniły się między sobą, a z drugiej by mogły rodzić się jedne z drugich, gdy się rozpuszczają". Otóż ich ściany zbudowane są z trójkątów prostokątnych dwojakiego rodzaju. Pierwszy rodzaj ma ,,przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od najmniejszego boku", z sześciu takich trójkątów ,,utworzy się jeden trójkąt równoboczny". Drugi - tworzą trójkąty równoramienne, ,,z czterech takich trójkątów powstaje czworobok równoboczny". Z trójkątów równobocznych i kwadratów formowane są kolejno czworościan, ośmiościan, dwudziestościan i sześcian.
J. Kepler, Harmonices Mundi, 1619, s. 55.
Ogień: ,,Jeśli złączymy razem cztery trójkąty równoboczne tak, aby trzy kąty płaskie zeszły się razem, powstaje jeden kąt bryłowy [...] A gdy się utworzy cztery kąty tego rodzaju, mamy już złożoną pierwszą bryłę, którą można podzielić na równe i symetryczne części powierzchnią kulistą, w którą jest wpisana".
kątów bryłowych tego rodzaju zostało skonstruowanych, ciało drugiego gatunku jest ukończone".
Woda: ,,Trzeci gatunek jest utworzony przez zespół stu dwudziestu trójkątów podstawowych. [...] Posiada on dwadzieścia ścian, którymi są trójkąty równoboczne w liczbie dwudziestu".
Ziemia: ,,Gdy powstały te trzy bryły, pierwszy gatunek trójkąta zaprzestał swojej funkcji. Z kolei trójkąt równoramienny zrodził naturę drugiego ciała. [...] Bryłą, która w ten sposób powstaje, jest sześcian, którego podstawy stanowi sześć powierzchni czworokątnych o równych bokach".
Wszechświat: ,,Pozostała jeszcze jedna i ostatnia kombinacja. Bóg posłużył się nią dla wszechświata, gdy kreślił jej plan". Co to za ,,kombinacja"? Tego Platon nie wyjawił.
ΣTOIXEIA. Jeśli wierzyć, że koniec wieńczy dzieło, to sens Elementów zapisany jest w ostatnich twierdzeniach. W twierdzeniach XIII.13-17 znajdujemy konstrukcje - kolejno: czworościanu, ośmiościanu, sześcianu, dwudziestościanu i dwunastościanu, a za każdym razem pokazane jest też, jak na danej bryle opisać kulę. A wreszcie ostatnie twierdzenie Elementów zamykają słowa: ,,Dlatego, poza pięcioma wymienionymi, żadna inna bryła ograniczona figurami o równych bokach i równych kątach nie może być skonstruowana. Co było do okazania." (XIII.18).
Czy można wątpić, że tytuł ΣTOIXEIA wprost nawiązuje do platońskich elementów, do ognia, powietrza, wody, ziemi, i całego świata?
[ W Metafizyce Arystotelesa znajduje bardziej prozaiczne objaśnienie znaczenie słowa ,,elementy": ,,nazywamy też 'elementami' te twierdzenia geometryczne, których dowód jest zawarty w dowodzie innych twierdzeń, wszystkich lub większości" (III, 998a); zob. także V, 1014a.]
Najtrudniejszym zadaniem w projekcie Euklidesa jest konstrukcja pięciokąta foremnego, z którego budowane są ściany dodekahedronu. Jest ono rozpisane jest na wiele etapów, a pierwszy istotny krok poczyniono już w Księdze II. Czytamy:
,,Podzielić tak daną linie prostą, aby prostokąt zawarty między całością a jedną z części, był równy kwadratowi na pozostałej części" (II.11). Problem ten można tak opisać: podzielić odcinek na takie części a,b, że całość a + b będzie w takim stosunku do większej części b jak część większa b do mniejszej a czyli (a + b) : b = b : a.
Konstrukcja Euklidesa przebiega jak następuje: (1) na odcinku AB budujemy kwadrat ABCD, (2) w połowie AC wyznaczamy punkt E, następnie przedłużamy AC, (3) zakreślamy okrąg o promieniu EB i wyznaczamy punkt przecięcia F, (4) budujemy kwadrat FGAH. Pokazuje się, że kwadrat FGAH jest równy prostokątowi HBKD.
Euklides nawiązuje do tych faktów w Księdze VI, ale wówczas opisuje je językiem teorii proporcji: ,,linię prostą AB podzielić w stosunku skrajne do środkowej" (VI.30).
Definicja VI.2 wyjaśnia, co to znaczy: ,,Mówi się, że linia prosta jest podzielna w stosunku skrajne do środkowej, gdy jak całość jest do większego odcinka, tak większy do mniejszego".
Odnosząc to do twierdzenia II.11 dostaniemy AB : AH = AH : HB.
Droga do konstrukcji dodekahedronu zawiera kilka matematycznych perełek, ale jest długa, dlatego oszczędzimy jej Czytelnikowi. Spójrzmy tylko na konstrukcję pięciokąta. Kluczowym momentem jest twierdzenie IV.10, gdzie budowany jest ,,trójkąt równoramienny, w którym każdy z kątów przy podstawie jest podwojeniem pozostałego". To właśnie w tej konstrukcji wykorzystywany jest ,,złoty podział", mianowicie AB:AC=AC:CB. Platon nie uwzględnił trójkątów tego rodzaju w swojej kosmologii i dlatego nie potrafił powiedzieć, jaką konstrukcją ,,Bóg posłużył się dla wszechświata".
W roku 1494 Fra Luca Pacioli, matematyk, uczeń Pierra della Francesci, opublikował traktat Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita. Dzieło szybko przyniosło mu znaczny rozgłos, a w dowód uznania za tę pracę Fra Luca do dzisiaj jest nazywany Ojcem Księgowości. Wiadomo, że Summę nabył i studiował Leonadro da Vinci, który skądinąd skrupulatnie notował wszystkie swoje przychody i wydatki i przy tej pozycji zapisał kwotę 119 soldów. W roku 1497 Pacioli przybył do Mediolanu na zaproszenie Lodowico Sforzy, by uczyć matematyki. Wtedy to poznał go da Vinci i rozpoczął pod jego opieką studiowanie Elementów Euklidesa. Leonardo - jak pisze jego biograf - ,,z niemal ewangeliczną pokorą, jak pilny uczeń, rozwiązywał krok po kroku kolejne problemy matematyczne", a miał wówczas 45. lat i właśnie kończył Ostatnią Wieczerzę. W tym samym czasie Pacioli finalizował dzieło, które przyniosło mu największą sławę - De divina proportione. Rzecz opublikował po latach, w roku 1509, w Wenecji, a w tym samym czasie wydał też swój łaciński przekład Elementów.
Leonardo da Vinci: (1-2) De divina proportione}, (3) Kodeks Atlantycki, karta 518, 1513-1514.
De divina proportione składa się z trzech Ksiąg. W pierwszej omawiane są kwestie związane ze ,,złotym podziałem" w Elementach i właśnie tutaj to, co Euklides definiował jako ,,stosunek skrajnych do środkowej", Pacioli nazwa Boską Proporcją. (3)
Księga Druga oparta jest na traktacie Witruwiusza De architectura, a jako swój autorski wkład dodał Pacioli partie poświęcone krojom trzcionek łacińskich. Księga trzecia to włoski przekład pracy Piero della Francesci De corporibus regularibus.
Leonardo da Vinci miał znaczący udział w powstaniu De divina ..., wykonał mianowicie blisko 60. rysunków do tej pracy, a spośród niech najbardziej znane są bryły platoński. Obok tradycyjnych przedstawień, prezentujących z perspektywy wybrane strony bryły (rys. 1, Duodecedron planus solidus), stworzył zupełnie nowatorski w skali całej historii matematyki sposób przedstawienia, który polega na tym, że obrazowane są jedynie niby wycięte w drewnie krawędzie bryły (rys. 2, Duodecedron planus vacuus).
Carlo Pedretti podaje, że dzięki Paciolemu Leonardo zdołał przyswoić trzy pierwsze Księgi Elementów. Śledząc szkice do ilustracji De divina proportione widzimy dużą znajomość geometrii opisanej przez Euklidesa w ostatnich Księgach, a rękopisy z późniejszych lat dowodzą, że Leonardo studiował Elementy do końca życia.
Studium do Ostatniej Wieczerzy, 1493 - 1494
Leonardo Vinci, Ostatnia wieczerza. Licząc szkice, studia anatomiczne i psychologiczne oraz wykonanie fresku Ostatnia wieczerza powstała w latach 1490-1498. Opracowany jest tu każdy szczegół, każdy przedmiot, każdy gest, a wszystko to podporządkowano znaczeniom biblijnym i teologicznym. Spójrzmy tylko na dwa przykłady.
Leonardo ukazuje apostołów poruszonych słowami Jezusa ,,Jeden z was mnie wyda" (Jan 13, 21)
Piotr, porywczy, zaciska dłoń na rękojeści noża, przysuwa się do Jana. Ten, jedyny nieporuszony słowami o zdradzie, łagodnie przechyla głowę do Piotra i zaraz spyta: ,,Panie, kto to?" (Jan 13, 25). Judasz jest przestraszony, przewraca solniczkę. W prawej dłoni ściska sakiewkę, lewą wyciąga, by zanurzyć chleb w misie. Za chwilę Jezus wypowie słowa: ,,Jeden z dwunastu, ten który ze mną rękę zanurza w misie" (Marek 14, 20).
Apostołowie, połączeni w grupach po trzech, zasiadają po sześciu z lewej i sześciu z prawej strony Jezusa. To novum. Wcześniej istniała tradycja umieszczania Judasza po przeciwnej stronie stołu, naprzeciw pozostałych apostołów, tym sposobem był on przedstawiany jako już osądzony. Pod wpływem nauczania św. Tomasza o dobrowolności grzechu Leonardo przedstawia Judasza wśród Apostołów, w grupie z ukochanym uczniem Jezusa, Janem, oraz następca Jezusa, Piotrem.
Rękopisy Leonarda bogato dokumentują przygotowania do Ostatniej Wieczerzy. Znamy wiele rysunków poszczególnych postaci, warianty póz, szkice psychologiczne. Towarzyszą temu konstrukcje geometryczne, szkice architektoniczne. Kompozycja całości pozostaje ciągle tajemnicą, co otwiera pole spekulacjom. Czy Leonardo kierował się Boską Proporcją? Malowidło jest na wskroś religijne, jeżeli więc w kompozycji zawarty jest dodatkowy sens, to będzie to jakieś religijne przesłanie.
Salvador Dali, Ostatnia Wieczerza, 1955. Scena przedstawiona na obrazie rozgrywa się o chłodzie poranka, zapewne nad jeziorem Genezaret. Właśnie opada mgła, rybackie łódki lekko się kołyszą marszcząc taflę wody. ,,A kiedy już nastał ranek, Jezus stanął na brzegu. Uczniowie jednak nie widzieli, że to był Jezus" (Jan 21, 4).
Apostołowie na obrazie rozmieszczeni są symetrycznie: pięciu po prawej, pięciu po lewej stronie Jezusa, dwaj pozostali - po przeciwnej stronie stołu. Nie widzimy ich twarzy, a różnią się tylko kolorem włosów. Klęczą, owinięci w długie, białe peleryny, z opuszczonymi z głowami, zastygli w modlitwie.
Pośrodku Jezus Zmartwychwstały. Przedstawiony jest tak, że siedzi za stołem i zarazem wyłania się z wody.
Prawą dłonią wskazuje ku górze, gdzie szeroko rozłożone ramiona młodzieńca mają objąć dodekahedron, w którym zamknięte jest całe przedstawienie.
W 1940 roku Dali uciekł z Europy do Kalifornii. Po ośmiu latach wrócił do Hiszpanii i mniej więcej wtedy zaczął tworzyć obrazy religijne. Biograf artysty tak opisuje ten okres: ,,Dali zaczął tam [w Ameryce] pisać autobiografię. Pogłębiał swoje studia estetyczne i co raz więcej czasu poświęcał włoskiej tradycji malarskiej. Szczególne znaczenie obudziła w nim boska proporcja - jak nazywał to Platon - złoty podział. [...] Geometria, matematyka, anatomia i perspektywa stały się teraz obiektami tego samego fanatycznego entuzjazmu, z jakim wcześniej penetrował podświadomość w poszukiwaniu źródła natchnienia. Obrazy Leda atomowa (1948), Madonna z Port Lligat bazują na pitagorejskim pentagramie, natomiast Ostatnia Wieczerza zdominowana jest przez złoty prostokąt". Dali zaś tak komentował swoją Ostatnią Wieczerzę: ,,arytmetyka i filozoficzna kosmologia oparta na paranoicznej wzniosłości liczby dwanaście [...]". Słowa te - tak Dalego, jak i biografa - nie świadczą o gruntownych studiach, to raczej zapis wrażeń z kartkowanych książek. Próżno też szukać w Ostatniej Wieczerzy Dalego jasnego planu filozoficznego, lepszym narzędziem analizy byłaby raczej archeologia przedstawień. Mamy tu bowiem nawarstwienie skojarzeń sięgających antycznej Grecji, Platona i pitagorejczyków, obrazów zaadoptowanych później przez tradycję chrześcijańską i wzbogaconych umiłowaniem matematyki doby Renesansu.
_____________________
Literatura traktująca o fresku Rafaela jest w zasadzie nieprzebrana. Istotne wskazania bibliograficzne znajdzie czytelnik na stronie
http://www.angelfire.com/sls302/bibliography.html. Niżej podajemy jedynie te pozycje, które okazały sie pomocne przy pisaniu niniejszego artykułu.
Diels H.A., Kranz W., Die Fragmente der Vorsokratiker, Berlin 1952 (cytowany fragment w tłumaczeniu K. Mrówki).
Euclidis Elementa, ed. J.L. Heiberg, Leipzig 1883-1885 (cytowane fragmenty w tłumaczeniu P. Błaszczyka i K. Mrówki).
Maddox C., Salvador Dali, tł. E. Wanat, Taschen, Poznań.
Padretti C. (red.), Leonardo da Vinci, tł. S. Królak, Arkady, 2006.
Platon, Timajos, tł. P. Siwek, Warszawa 1986 (dla zachowania większej zgodności z oryginałem, w kilku miejscach tłumaczenie zostało nieznacznie zmienione).
______________________
0. Potoczna nazwa fresku ,,Szkoła ateńska" pochodzi najpewniej z XVII-wiecznych francuskich przewodników turystycznych.
1. Klasyczna charakterystykę pitagorejczyków podaje Arystoteles w Metafizyce: ,,tak zwani pitagorejczycy pierwsi zająwszy się naukami matematycznymi nauki te rozwinęli, a zaprawiwszy się w nich sądzili, że ich zasady są zasadami wszystkich rzeczy [...] dostrzegli też w liczbach właściwości i proporcje muzyki; skoro więc wszystkie inne rzeczy wzorowane są, jak im się zdawało, w całej naturze na liczbach, a liczby wydają się pierwszymi w całej naturze, sądzili, że elementy liczb są elementami wszystkich rzeczy, a całe niebo jest harmonią i liczbą" (I, 985b-986a). Stan dzisiejszej wiedzy na temat Pitagorasa i pitagorejczyków wyznaczają artykuły Leonida Zhmuda (Phronesis 34, 1989 czy Historia Mathematica 16, 1989.
2. Przypowieść o Hippasosie powtarzamy za artykułem Kurta von Fritza
The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum,
The Annals of Mathematics 46, 1945. Kolejne pokolenia historyków matematyki greckiej (W. Knorr, D. Fowler, R. Netz) milczeniem zbywają spekulacje von Fritz'a. Natomiast teza, że algorytm anthyphairesis, a więc w zasadzie to, co dzisiaj nazywamy algorytmem Euklidesa, był znany na długo przed Euklidesem jest dzisiaj powszechnie akceptowany.
3. Na stronie Mathworld.wolfram.com znajdujemy taka oto notkę: ,,The term 'golden section' (in German, goldener Schnitt or der goldene Schnitt) seems to first have been used by Martin Ohm in the 1835 2nd edition of his textbook Die Reine Elementar-Mathematik (Livio 2002, p. 6). The first known use of this term in English is in James Sulley's 1875 article on aesthetics in the 9th edition of the Encyclopedia Britannica". Sądzimy jednak, że termin 'złota proporcja' jest dużo starszy.
___________________
Z korespondencji (maj 2011) z autorem książki Die Geschichte des goldenen Schnitts, Stuttgart 2005:
,,the oldest use of the term 'goldener Schnitt' that has come to light so far is by Ferdinand Wolff, in his Lehrbuch der Geometrie (1830) ...
As for Wolff: it's not in the book, since I did not know this at the time. For a long time Ohm was considered the oldest source, so that's still in my book. ...
Sincerely, Albert van der Schoot"
Komentarze
Prześlij komentarz